بازه‌ها در ریاضی چیست؟

در ریاضیات، گاهی لازم است به جای نوشتن تعداد زیادی عدد، مجموعه‌ای از اعداد را به شکل ساده‌تر نمایش دهیم. یکی از روش‌های مهم برای نمایش مجموعه‌های عددی، استفاده از بازه‌ها است.

بازه‌ها به ما کمک می‌کنند مجموعه‌ای از اعداد حقیقی را که بین دو عدد مشخص قرار دارند، به شکل کوتاه‌تر و خواناتر نشان دهیم.

یادگیری مفهوم بازه‌ها در ریاضی دهم اهمیت زیادی دارد، زیرا در مباحثی مانند نامعادله‌ها، تابع، دامنه و برد توابع و بسیاری از مباحث ریاضی بعدی استفاده می‌شود.

بازه چیست؟

بازه مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است که بین دو عدد مشخص قرار گرفته‌اند.

به طور کلی اگر دو عدد حقیقی مانند $a$ و $b$ داشته باشیم که: $a<b$ باشد، می‌توانیم مجموعه اعداد بین این دو عدد را به صورت یک بازه نمایش دهیم.

برای مثال: $A=\{x \in R | 2<x<5\}$ یعنی مجموعه تمام اعداد حقیقی که بزرگ‌تر از ۲ و کوچک‌تر از ۵ هستند.

این مجموعه را می‌توان به شکل بازه نوشت: $A=(2,5)$

انواع بازه‌ها

بازه‌ها بر اساس اینکه دو سر آن‌ها عضو مجموعه باشند یا نباشند، به چند دسته تقسیم می‌شوند.

بازه بسته

در بازه بسته، دو سر بازه نیز جزو مجموعه هستند.

علامت بازه بسته: $[a,b]$ نشان‌دهنده مجموعه‌ای است که شامل عددهای بین $a$ و $b$ و خود دو عدد $a$ و $b$ می‌شود.

مثال: $[2,5]$ یعنی: $2 \leq x \leq 5$ در این بازه عددهای ۲ و ۵ نیز عضو مجموعه هستند.

بازه باز

در بازه باز، دو سر بازه عضو مجموعه نیستند.

علامت بازه باز: $(a,b)$ مثال: $(2,5)$ یعنی: $2<x<5$ در این حالت عددهای ۲ و ۵ در مجموعه قرار ندارند.

بازه نیمه‌باز یا نیمه‌بسته

گاهی یکی از دو سر بازه عضو مجموعه است و سر دیگر عضو نیست.

دو حالت داریم:

بازه نیمه‌باز از چپ

$(a,b]$ در این حالت عدد $a$ عضو مجموعه نیست، اما عدد $b$ عضو مجموعه است.

مثال: $(2,5]$ یعنی: $2<x\leq5$

بازه نیمه‌باز از راست

$[a,b)$ در این حالت عدد $a$ عضو مجموعه است، اما عدد $b$ عضو مجموعه نیست.

مثال: $[2,5)$ یعنی: $2\leq x<5$

نمایش بازه‌ها روی محور اعداد

برای درک بهتر بازه‌ها معمولاً از محور اعداد استفاده می‌کنیم.

در نمایش روی محور: دایره توپر نشان‌دهنده عضویت عدد در بازه است.

دایره توخالی نشان‌دهنده عضو نبودن عدد در بازه است.

مثلاً: $[1,4)$ یعنی عدد ۱ در مجموعه قرار دارد، اما عدد ۴ قرار ندارد.

بازه‌های نامحدود

گاهی یک بازه از یک طرف یا هر دو طرف ادامه پیدا می‌کند و پایان ندارد.

در این حالت از علامت بی‌نهایت استفاده می‌کنیم.

مثال: $(3,+\infty)$ یعنی: $x>3$ در این مجموعه همه اعداد بزرگ‌تر از ۳ قرار دارند.

مثال دیگر: $(-\infty,2]$ یعنی: $x\leq2$ نکته مهم: بی‌نهایت هیچ‌گاه عضو بازه نیست، بنابراین همیشه کنار علامت بی‌نهایت از پرانتز استفاده می‌کنیم.

تفاوت پرانتز و کروشه در بازه‌ها

یکی از نکات مهم در بازه‌ها، تفاوت بین پرانتز و کروشه است.

کروشه: $[ \quad ]$ یعنی عدد انتهای بازه عضو مجموعه است.

پرانتز: $( \quad )$ یعنی عدد انتهای بازه عضو مجموعه نیست.

مثال: $[0,3]$ یعنی: $0\leq x\leq3$ اما: $(0,3)$ یعنی: $0<x<3$

مثال‌های امتحانی ریاضی دهم

مثال ۱

مجموعه زیر را به صورت بازه بنویسید: $A=\{x \in R | 1\leq x<6\}$ پاسخ: چون عدد ۱ عضو مجموعه است و عدد ۶ عضو مجموعه نیست: $A=[1,6)$

مثال ۲

بازه زیر را به صورت نامساوی بنویسید: $B=(-2,4]$ پاسخ: عدد -۲ عضو مجموعه نیست و عدد ۴ عضو مجموعه است: $-2<x\leq4$

مثال ۳

مشخص کنید عدد ۵ عضو بازه زیر است یا خیر: $A=(2,5)$ پاسخ: چون دو سر بازه باز هستند، عدد ۵ عضو مجموعه نیست.

نکات مهم امتحانی بازه‌ها

کروشه یعنی عدد انتهای بازه عضو مجموعه است.

پرانتز یعنی عدد انتهای بازه عضو مجموعه نیست.

کنار بی‌نهایت همیشه از پرانتز استفاده می‌کنیم.

بازه‌ها معمولاً برای نمایش مجموعه اعداد حقیقی استفاده می‌شوند.

قبل از نوشتن بازه، باید مشخص کنیم دو سر بازه داخل مجموعه هستند یا خارج از آن.

جمع‌بندی

بازه‌ها یکی از روش‌های ساده و کاربردی برای نمایش مجموعه‌ای از اعداد حقیقی هستند.

با استفاده از بازه‌ها می‌توانیم مجموعه‌های محدود، نامحدود، باز، بسته و نیمه‌باز را به شکل کوتاه‌تر نمایش دهیم.

یادگیری درست بازه‌ها در ریاضی دهم، پایه‌ای مهم برای حل نامعادله‌ها، بررسی دامنه توابع و بسیاری از مباحث مهم ریاضی در سال‌های بعد است.

یادگیری کامل ریاضی دهم با آموزش ویدیویی

اگر می‌خواهید مباحث ریاضی دهم را به‌صورت مفهومی، همراه با حل تمرین و نمونه سؤال یاد بگیرید، می‌توانید از دوره آموزش ریاضی دهم آکادمی ریاضی زرگوش استفاده کنید.

در این دوره، تمام مباحث کتاب درسی از پایه آموزش داده شده و نکات مهم امتحانی و روش‌های حل مسائل بررسی می‌شوند.

مشاهده دوره آموزش ریاضی دهم: [لینک دوره ریاضی دهم]