ریاضی فقط مجموعهای از فرمولها، اعداد و مسئلههای کتابهای درسی نیست. در دنیای ریاضیات، پرسشهایی وجود دارند که با وجود تلاش ریاضیدانان در طول دههها و حتی قرنها، هنوز پاسخ قطعی برای آنها پیدا نشده است.
بعضی از این مسائل در نگاه اول بسیار ساده به نظر میرسند، اما اثبات دقیق آنها به روشها و ایدههای بسیار پیشرفتهای نیاز دارد. همین موضوع باعث شده است که برخی از بزرگترین رازهای ریاضی، همچنان ذهن ریاضیدانان سراسر جهان را به خود مشغول کنند.
در این مقاله با ۷ مورد از مشهورترین مسائل حلنشده ریاضی آشنا میشویم؛ مسئلههایی که بعضی از آنها با اعداد اول، بعضی با کامپیوتر و الگوریتمها و بعضی دیگر با فیزیک و دنیای واقعی ارتباط دارند.
مسئله حلنشده ریاضی چیست؟
یک مسئله حلنشده یا مسئله باز ریاضی، پرسشی است که هنوز برای آن پاسخ یا اثبات ریاضی پذیرفتهشدهای پیدا نشده است.
ممکن است ریاضیدانان میلیونها یا حتی میلیاردها حالت مختلف یک مسئله را بررسی کرده باشند و نتیجه در همه این موارد درست باشد، اما این موضوع بهتنهایی یک اثبات ریاضی محسوب نمیشود.
در ریاضیات، تفاوت بسیار مهمی میان «درست به نظر میرسد» و «بهطور قطعی اثبات شده است» وجود دارد.
۱. فرضیه ریمان؛ یکی از بزرگترین رازهای ریاضی
فرضیه ریمان یکی از مشهورترین و مهمترین مسائل حلنشده ریاضی در جهان است. این مسئله ارتباط عمیقی با نحوه توزیع اعداد اول دارد.
برای مطالعه این مسئله، ریاضیدانان به تابعی به نام تابع زتای ریمان توجه میکنند که معمولاً با نماد ζ(s) نشان داده میشود.
فرضیه ریمان بیان میکند که تمام صفرهای غیر بدیهی این تابع، دارای قسمت حقیقی برابر با ۱⁄۲ هستند.
شاید در نگاه اول این موضوع بسیار تخصصی به نظر برسد، اما اهمیت آن به اعداد اول بازمیگردد. اعداد اول از مهمترین عناصر نظریه اعداد هستند و رفتار آنها الگوی بسیار پیچیدهای دارد.
فرضیه ریمان نخستین بار در سال ۱۸۵۹ توسط برنهارد ریمان مطرح شد و بیش از ۱۶۵ سال است که ریاضیدانان برای اثبات یا رد آن تلاش میکنند.
این مسئله یکی از مسائل هزاره مؤسسه کلی نیز به شمار میرود و برای حل آن جایزه یک میلیون دلاری تعیین شده است.
۲. آیا P برابر NP است؟
دومین مسئله بسیار معروف، پرسشی در مرز ریاضیات و علوم کامپیوتر است.
صورت ساده مسئله این است: آیا هر مسئلهای که بررسی درستی یک پاسخ برای آن سریع انجام میشود، الزاماً قابل حل شدن با سرعت بالا نیز هست؟
در نظریه پیچیدگی محاسباتی، P و NP دو کلاس مهم از مسائل هستند.
به زبان ساده، مسئله این است که آیا رابطه زیر برقرار است؟
P = NP اگر پاسخ مثبت باشد، میتواند پیامدهای گستردهای برای علوم کامپیوتر، الگوریتمها، بهینهسازی و بسیاری از مسائل محاسباتی داشته باشد.
اگر پاسخ منفی باشد، نشان داده میشود که مسئلههایی وجود دارند که بررسی یک پاسخ برای آنها نسبتاً آسان است، اما پیدا کردن پاسخ بهطور کلی بسیار دشوارتر است.
این مسئله از مهمترین پرسشهای حلنشده در علوم کامپیوتر نظری و یکی از مسائل هزاره است.
۳. حدس کولاتز؛ مسئلهای ساده که هنوز حل نشده است
حدس کولاتز یکی از جذابترین مسائل حلنشده ریاضی است، زیرا توضیح آن بسیار ساده است.
یک عدد صحیح مثبت انتخاب کنید.
اگر عدد زوج بود، آن را بر ۲ تقسیم کنید.
اگر عدد فرد بود، آن را در ۳ ضرب کرده و ۱ واحد به آن اضافه کنید.
سپس همین فرایند را دوباره تکرار کنید.
برای مثال، اگر عدد ۶ را انتخاب کنیم: ۶ ← ۳ ← ۱۰ ← ۵ ← ۱۶ ← ۸ ← ۴ ← ۲ ← ۱ حدس کولاتز میگوید هر عدد صحیح مثبت را که انتخاب کنیم، در نهایت این فرایند به عدد ۱ خواهد رسید.
این مسئله با وجود سادگی، هنوز اثبات نشده است.
رایانهها تعداد بسیار زیادی از اعداد را بررسی کردهاند و در موارد بررسیشده، دنباله در نهایت به ۱ رسیده است؛ اما بررسی تعداد بسیار زیادی از مثالها با اثبات این موضوع برای تمام اعداد مثبت تفاوت دارد.
به همین دلیل، حدس کولاتز هنوز یکی از رازهای جالب و مشهور دنیای ریاضیات است.
۴. حدس گلدباخ؛ آیا هر عدد زوج حاصل جمع دو عدد اول است؟
حدس گلدباخ یکی از قدیمیترین مسائل مشهور در نظریه اعداد است.
این حدس میگوید: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از ۲ را میتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.
برای مثال: ۴ = ۲ + ۲ ۱۰ = ۳ + ۷ ۲۰ = ۳ + ۱۷ ۵۰ = ۱۹ + ۳۱ در نمونههای بسیار زیادی این ویژگی برقرار است و محاسبات گسترده نیز شواهد زیادی در حمایت از آن فراهم کردهاند.
با این حال، ریاضیدانان به یک اثبات عمومی نیاز دارند؛ یعنی باید ثابت شود که این ویژگی برای تمام اعداد زوج بزرگتر از ۲ برقرار است.
نسخه ضعیفتر حدس گلدباخ در سال ۲۰۱۳ توسط هارالد هلفگوت اثبات شد، اما صورت مشهور این حدس همچنان یک مسئله باز در ریاضیات است.
۵. معادلات ناویر–استوکس؛ راز ریاضی حرکت سیالات
شاید عجیب باشد که یکی از مهمترین مسائل حلنشده ریاضی با آب و هوا و حرکت سیالات ارتباط داشته باشد.
معادلات ناویر–استوکس از مهمترین معادلات ریاضی در فیزیک و مهندسی هستند و برای مدلسازی حرکت سیالاتی مانند آب و هوا استفاده میشوند.
یکی از پرسشهای اساسی درباره این معادلات در سه بعد این است که آیا میتوان همیشه وجود و همواری جوابها را بهصورت دقیق اثبات کرد یا خیر.
به زبان ساده، ریاضیدانان میخواهند بدانند آیا رفتار این معادلات همیشه به شکلی منظم و قابل کنترل باقی میماند، یا ممکن است در شرایطی خاص رفتار ریاضی آنها دچار پیچیدگی شدید شود.
این مسئله علاوه بر اهمیت نظری، با مدلسازی پدیدههای واقعی در فیزیک و مهندسی نیز ارتباط دارد.
مسئله وجود و همواری ناویر–استوکس یکی دیگر از مسائل هزاره مؤسسه کلی است.
۶. حدس اعداد اول دوقلو؛ آیا بینهایت عدد اول دوقلو وجود دارد؟
اعداد اول یکی از جذابترین موضوعات در نظریه اعداد هستند.
دو عدد اول که اختلاف آنها دقیقاً ۲ باشد، «اعداد اول دوقلو» نامیده میشوند.
برای مثال: ۱۱ و ۱۳ ۱۷ و ۱۹ ۲۹ و ۳۱ پرسش اصلی این است: آیا بینهایت جفت عدد اول دوقلو وجود دارد؟
نمونههای بسیار زیادی از اعداد اول دوقلو شناخته شدهاند و مطالعات ریاضی نیز پیشرفتهای مهمی درباره فاصله میان اعداد اول ایجاد کردهاند.
با این حال، اثبات اینکه بینهایت جفت عدد اول با فاصله دقیقاً ۲ وجود دارد، همچنان یکی از مسائل معروف حلنشده نظریه اعداد است.
۷. مسئله یانگ–میلز و شکاف جرمی
یکی دیگر از مسائل هزاره مؤسسه کلی در مرز میان ریاضیات و فیزیک قرار دارد.
نظریه یانگ–میلز یکی از ساختارهای مهم در فیزیک نظری است و با توصیف نیروهای بنیادی ارتباط دارد.
مسئله اصلی این است که آیا میتوان ساختار ریاضی این نظریه را بهصورت کاملاً دقیق و سازگار در چهار بعد تعریف کرد و وجود یک «شکاف جرمی» مثبت را نیز اثبات کرد.
این موضوع از مسائل بسیار پیشرفته ریاضی و فیزیک نظری است و توضیح کامل آن به دانش دانشگاهی در زمینههایی مانند آنالیز، هندسه و فیزیک کوانتومی نیاز دارد.
با وجود دشواری بسیار زیاد، این مسئله یکی از مهمترین پرسشهای حلنشده در مرز میان ریاضیات و فیزیک است.
چرا حل بعضی از مسائل ریاضی اینقدر دشوار است؟
یکی از نکات جالب درباره مسائل حلنشده ریاضی این است که سخت بودن یک مسئله لزوماً به معنی پیچیده بودن صورت آن نیست.
گاهی یک مسئله را میتوان در یک یا دو جمله توضیح داد، اما اثبات آن به ابزارهای ریاضی کاملاً جدید نیاز دارد.
بررسی مثالهای زیاد با اثبات ریاضی تفاوت دارد
ممکن است یک ویژگی برای میلیونها یا میلیاردها عدد آزمایش شود و در تمام موارد درست باشد.
اما اگر مسئله درباره تمام اعداد صحبت کند، باید اثباتی ارائه شود که تمام حالتهای ممکن را پوشش دهد.
رایانه جایگزین کامل اثبات ریاضی نیست
رایانهها در کشف الگوها، انجام محاسبات بسیار بزرگ و بررسی تعداد زیادی از حالتها فوقالعاده قدرتمند هستند.
اما در مسائل بسیاری، حتی بزرگترین محاسبات نیز بهتنهایی نمیتوانند یک قضیه را برای بینهایت حالت اثبات کنند.
گاهی به ایدههای ریاضی جدید نیاز است
ممکن است یک مسئله سالها حلنشده باقی بماند، زیرا روشهای موجود برای حل آن کافی نیستند.
در تاریخ ریاضیات بارها اتفاق افتاده است که ظهور یک مفهوم یا ابزار جدید، راهحل مسئلهای قدیمی را فراهم کرده است.
مسائل هزاره چیستند؟
در سال ۲۰۰۰، مؤسسه کلی مجموعهای شامل ۷ مسئله بسیار مهم ریاضی را معرفی کرد که به «مسائل هزاره» معروف شدند.
برای هر مسئله جایزهای یک میلیون دلاری در نظر گرفته شد.
هفت مسئله هزاره عبارتاند از: ۱. فرضیه ریمان ۲. مسئله P و NP ۳. معادلات ناویر–استوکس ۴. حدس هاج ۵. حدس پوانکاره ۶. نظریه یانگ–میلز و شکاف جرمی ۷. حدس بیرچ و سوینرتون–دایر از میان این هفت مسئله، حدس پوانکاره توسط گریگوری پرلمان حل شد و سایر مسائل این فهرست همچنان از مسائل مشهور باز ریاضیات هستند.
لازم است توجه کنیم که همه مسائل معرفیشده در این مقاله جزو مسائل هزاره نیستند؛ برای مثال، حدس کولاتز، حدس گلدباخ و حدس اعداد اول دوقلو از مسائل مشهور حلنشده ریاضی هستند، اما در فهرست هفت مسئله هزاره مؤسسه کلی قرار ندارند.
آیا ممکن است روزی این رازهای ریاضی حل شوند؟
هیچکس نمیتواند زمان دقیق حل یک مسئله حلنشده را پیشبینی کند.
تاریخ ریاضیات نشان داده است که بعضی مسائل پس از سالها یا حتی قرنها، با پیدا شدن یک ایده جدید حل شدهاند.
ممکن است برای برخی از مسائل امروز نیز ابزارهای ریاضی جدیدی در آینده ایجاد شود و راهحل آنها را آشکار کند.
از طرف دیگر، بعضی مسائل ممکن است برای مدت بسیار طولانیتری بدون پاسخ باقی بمانند.
همین موضوع یکی از جذابترین ویژگیهای ریاضیات است؛ اینکه هنوز پرسشهایی وجود دارند که پاسخ آنها را نمیدانیم.
جمعبندی
دنیای ریاضیات بسیار گستردهتر از فرمولها و مسئلههای کتابهای درسی است.
فرضیه ریمان، مسئله P و NP، حدس کولاتز، حدس گلدباخ، معادلات ناویر–استوکس، حدس اعداد اول دوقلو و مسئله یانگ–میلز تنها بخشی از مهمترین مسائل حلنشده ریاضی هستند.
هر یک از این مسائل از زاویهای متفاوت به مرزهای دانش نگاه میکنند؛ بعضی به اعداد اول مربوطاند، بعضی به الگوریتمها و کامپیوتر و برخی دیگر به فیزیک و ساختار جهان.
شاید جالبترین بخش ماجرا این باشد که با وجود پیشرفت شگفتانگیز علم، هنوز در ریاضیات پرسشهایی وجود دارند که هیچکس پاسخ قطعی آنها را نمیداند.
شاید یکی از همین رازهای حلنشده، روزی مسیر بخش مهمی از ریاضیات آینده را تغییر دهد.
اگر به دنیای شگفتانگیز عددها و ویژگیهای خاص آنها علاقه دارید، در مقاله «اعداد خاص در ریاضی» با تعدادی از جالبترین و شگفتانگیزترین عددهای ریاضی آشنا شوید.
نویسنده: فریدون زرگوش